آشنایی با ریاضیات کسری

بعد کسری

مفهوم فضا با بعد کسری، در بسیاری از حوزه های فیزیک برای توصیف پارامترهای موثر سیستم ها  اهمیت دارد.

با وجود اینکه فضای دربردارنده ی اشیا در دنیای واقعی, فضای سه بعدی اقلیدسی است، اما اجسام همواره در فضای سه بعدی حرکت نمی کنند. بعد به قیدهای اعمال شده بستگی دارد. با داشتن بعد غیر صحیح، می توان سیستم واقعی را با یک روش ساده مدل کرد.

هر شخصی که محاسبات مقدماتی را مطالعه کرده باشد، با مفهوم انتگرال­گیری و مشتق­گیری آشنایی دارد. اگر بخواهیم انتگرال مرتبه 1/2 این تابع یا مشتق مرتبه کسری آن­را محاسبه کنیم؟ چگونه می­توانیم عملگر خود را تعریف کنیم؟ یا سوال بهتر این است که آیا نتایج حاصل همانند عملگرهای با مرتبه صحیح دارای معنا و مفهوم و کاربرد هستند؟

در فصل پیش رو، به توصیف این حوزه از محاسبات پرداخته و برخی از عملگرهای معروف و پرکاربرد دنیای ریاضیات کسری معرفی کرده و مفاهیم موجود در این دسته از عملگرها را بیان می­کنیم.

• Anomalous Diffusion:

1. R. Metzler, J. Klafter / Physics Reports 339 (2000) 1-77.
2. T. J. Schep, Diffusion: from classical to fractional, Part One: Classical diffusion and random walks 2009.
3. R. Klages, G. Radons, and I.M. Sokolov, Anomalous Transport Foundations and Applications, Wiley-VCH; 1 edition (September 9, 2008).
4. Anomalous diffusion. December 8, 2000.

• Fractional Calculus:

1. T. J. Schep, Diffusion: from classical to fractional, PART FIVE: Continuous time random walk (CTRW) and Fractional diffusion equations.
2. Rudolf Hilfer, Applications Of Fractional Calculus In Physics, World Scientific Publ. Co., 2000.
3. Shantanu Das, Functional Fractional Calculus. Springer; 2nd Edition. edition (June 1, 2011).
4. Bruce J. West and Paolo Grigolini, Ralf Metzler, and Theo F. Nonnenmacher Phys. Rev. E 55, 99–106 (1997).